Teoría de Conjuntos

NOCIÓN INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
 

Ejemplos de conjuntos:
 

• Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
• N: el conjunto de los números naturales.
• Z: el conjunto de los números enteros.
• Q : el conjunto de los números racionales.
• R: el conjunto de los números reales.
• C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

• por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
• por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

• A := {1,2,3, ... ,n}
• B := {pΠZ | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B Í A;
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota Ã (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
 

Si A = {a,b} entonces Ã (A) = {Æ ,{a},{b},A}.

Si a Î A entonces {a} Îà(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}.
Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A).

Si A Î Ã (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U,
y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

• Æ ' = U .
• U ' = Æ .
• (A')' = A .
• A Í B Û B' Í A' .
• Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,
es decir: A È B := { x | x Î A Ú x Î B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,
es decir: A Ç B := {x | x Î A Ù x Î B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A Ç B'.
En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES	UNION		INTERSECCION
1.- Idempotencia		A È A = A		A Ç A = A
2.- Conmutativa		A È B = B È A		A Ç B = B Ç A
3.- Asociativa		A È ( B È C ) = ( A È B ) È C		A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B ) Ç C
4.- Absorción		A È ( A Ç B ) = A		A Ç ( A È B ) = A
5.- Distributiva		A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )		A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
6.- Complementariedad		A È A' = U		A Ç A' = Æ

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

• A È Æ = A , A Ç Æ = Æ ( elemento nulo ).
• A È U = U , A Ç U = A ( elemento universal ).
• ( A È B )' = A' Ç B' , ( A Ç B )' = A' È B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:
 

A ´ B := { (a,b) : a Î A Ù b Î B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A ´ B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica
 

A ´ B = C ´ D Û ( A = C Ù B = D )

Se llama grafo relativo a A ´ B a todo subconjunto G Í A ´ B.
Dado un grafo G relativo a A ´ B, se llama proyección de G sobre A al conjunto
 

Proy_AG := { a Î A : (a,b) Î G, $ b Î B}

Análogamente se define la proyección Proy_BG de G sobre B.

Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.
Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto A_i , entonces se define el conjunto { A_i : i Î I }
y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { A_i } _i Î I .
De forma análoga se define una familia de elementos ( a_i ) _i Î I .

Dada una familia de conjuntos { A_i } _i Î I se definen:
 

• È _i ÎI A_i := { a : a Î A_i , $ i Î I }
• Ç _i Î I A_i := { a : a Î A_i , " i Î I }
• Õ _i Î I A_i := { (a_i) : a_i Î A_i , " i Î I }

  
Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan :
  

( È _i Î I A_i )' = Ç _i Î I A'_i     ,    (Ç_i Î I A_i )' = È_i Î I A'_i

          DIAGRAMAS DE VENN

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.
Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

         

         A Í B

        A È B

      A Ç B

  

     A - B

   A D B

Lógica proposicional

Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).

Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa 
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".

A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir 
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de 
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. 
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: 
  
 

p	p'
1	0
0	1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad:

  Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas,   y falsa en cualquier otro caso. 
                        

 Se escribe p Ù q, y se lee "p y q". 
  
 

p	q	p Ù q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera,  y falsa en caso contrario. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q". 
  
 

p	q	p Ú q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p Ú q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. 
  
 

p	q	p Ú q
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p Þ q, y se lee "si p entonces q". 
  
 

p	q	p Þ q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p Û q, y se lee "si y sólo si p entonces q". 
  
 

p	q	p Û q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ú p'.

Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores 
de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p Ù p'.

Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con 
incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa". 
 

Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales 
que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p Û q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones

                   p Þ q

y

                   q' Þ p'

son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contra recíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. 
Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos. 
  

              

        RELACIÓN ENTRE LA TEORIA DE CONJUNTOS Y LA LOGICA PROPOSICIONAL

Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. 
Para mostrar dicha relación, denotemos por letras mayúsculas A,B ... los conjuntos y 
por las correspondientes minúsculas a,b ... sus propiedades características 
(es decir, la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto); 
entonces se tiene la siguiente correspondencia: 
  

conjuntos	A Í B	A = B	A È B	A Ç B	A'	A - B	A D B
proposiciones	a Þ b	a Û b	a Ú b	a Ù b	a'	a Ù b'	a Ú b

Además, el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. 
Mediante esta correspondencia, todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica 
proposicional y viceversa; a modo de ejemplo: 
  
 

A È ( A Ç B ) = A	a Ú ( b Ù c ) Û a
A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C )	a Ú ( b Ù c ) Û ( a Ú b ) Ù ( a Ú c )
( A È B )' = A' Ç B'	( a Ú b )' Û a' Ù b'

PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Los símbolos " (cuantificador universal) y $ (cuantificador existencial) se utilizan en Matemáticas para 
enunciar proposiciones lógicas relativas a objetos matemáticos.

Sea A un conjunto y p(x) una proposición o propiedad que hace referencia a un elemento x.

(1) Cuantificador universal: La expresión

        " x Î A Þ p(x)

se lee "para todo x que pertenece a A se verifica p(x)", representa la proposición

        { x Î A : p(x) } = A

(2) Cuantificador existencial: La expresión

        $ x Î A | p(x)

se lee "existe x que pertenece a A tal que p(x)", representa la proposición

        { x Î A : p(x) } ¹ Æ 
 

La negación de cualquiera de las dos proposiciones anteriores se realiza negando la proposición p(x) 
y cambiando el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa.

          Así, la negación de la proposición "" x Î A Þ p(x)" es "$ x Î A | p(x)' ", mientras que 
la negación de "$ x Î A | p(x)" es "" x Î A Þ p(x)' " 

                                       

                                                              REALIZADO POR:

                                                          JOSEPH MONSERRATTE C.I 24.222.116

                                                   SEC 3 INFORMATICA TRAYECTO I